Le leggi di De Morgan sono due regole che ci permettono di trasformare e semplificare espressioni sia nella logica proposizionale che nella teoria degli insiemi; nella pratica, tali leggi descrivono come si comporta la negazione (in logica) o il complemento (negli insiemi) quando interagisce con gli operatori principali.
Nel contesto della logica proposizionale, tali leggi ci consentono di “distribuire” una negazione che interessa un’intera parentesi, trasformando la negazione di una congiunzione in una disgiunzione di negazioni e viceversa.
Nella teoria degli insiemi, effettuano la conversione analoga; convertono il complemento di un’unione in un’intersezione di complementi e il complemento di un’intersezione in un’unione di complementi.
Le leggi di de Morgan devono il loro nome al matematico e logico britannico Augustus De Morgan (1806 – 1871), che le formalizzò nel XIX secolo, anche se se ne avevano tracce fin dall’antichità.
In logica, le leggi di De Morgan ci consentono di riscrivere una negazione che riguarda una proposizione composta, il che è utile per semplificare le proposizioni.
Le due regole sono espresse formalmente nel modo seguente:
1) La negazione di una congiunzione è equivalente alla disgiunzione delle negazioni:
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
2) La negazione di una disgiunzione è equivalente alla congiunzione delle negazioni:
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Il simbolo “≡” significa che le espressioni su entrambi i lati sono logicamente equivalenti, hanno sempre lo stesso valore di verità.
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